PROBABILITY FOR FINANCE
Anno accademico 2015/2016 - 1° annoCrediti: 9
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 165 di studio individuale, 60 di lezione frontale
Semestre: 1°
ENGLISH VERSION
Prerequisiti richiesti
Conoscenza dei principali strumenti di calcolo differenziale e integrale (una e più dimensioni). Nozioni di algebra lineare. Nozioni di calcolo finanziario in condizioni di certezza. Equazioni differenziali (primo ordine, ordinarie) e convergenza di serie di funzioni saranno discussi anche a lezione.
Frequenza lezioni
Fortemente Consigliata
Contenuti del corso
1° MODULO (3 CFU)
Titolo del modulo: Elementi di Teoria delle Probabilità
Credito parziale attribuito: 3 CFU
Obiettivi formativi: Conoscenza dei principali risultati probabilistici dal punto di vista del calcolo infinitesimale; illustrazione di alcuni concetti base con esempi finanziari.
Descrizione del programma: Spazi di probabilità discreti e generali; probabilità condizionale e indipendenza; variabili casuali (distribuzioni discrete e continue); alcuni modelli di variabili casuali d’impiego frequente in finanza; indici di localizzazione e dispersione; funzioni quantili; valore atteso condizionato (integrazione rispetto a una misura di probabilità).
2° MODULO (3 CFU)
Titolo del modulo: Modelli multivariati in condizioni d’incertezza statica e dinamica
Credito parziale attribuito: 3 CFU
Obiettivi formativi: Estensione delle distribuzioni di probabilità a vettori aleatori e processi stocastici, come modelli di fenomeni finanziari in condizioni d’incertezza.
Descrizione del programma: Vettori casuali e distribuzioni congiunte; distribuzioni marginali; processi stocastici e distribuzioni finito dimensionali; alcuni teoremi di convergenza di variabili aleatorie; simulazione di Monte Carlo e metodo della trasformazione inversa; funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti; alcuni processi stocastici utilizzati in finanza: Bernoulli, random walk, Wiener, AR(1), martingala, Markov Chains; elementi di calcolo stocastico (integrale di Itô ed equazioni differenziali stocastiche diffusive).
3° MODULO (3 CFU)
Titolo del modulo: Modelli stocastici e Finanza
Credito parziale attribuito: 3 CFU
Obiettivi formativi: Applicazioni di distribuzioni di variabili casuali e processi stocastici alla modellizzazione finanziaria: pricing, risk e performance measurement.
Descrizione del programma: modellizzazione d’invarianti di mercato (log-returns); misure di rischio coerenti e generali (es. Value-at-Risk ed Expecetd Shortfall); pricing di derivati semplici: approccio binomiale a tempo discreto e approccio a tempo continuo alla Black-Scholes (non-arbitraggio e hedging); ottimizzazione della ricchezza finale: cenni con l’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (stochastic dynamic programming) e l’approccio martingala equivalente.
Testi di riferimento
- Lecture Notes del docente
- Probability: The Science of Uncertainty (with Applications to Investments, Insurance and Engineering) – M.A. Bean – American Mathematical Society
- Essential Mathematics for Market Risk Management – S. Hubbert – Wiley 2012
- Probability Models – J. Haigh – Springer 2004
- Basic Stochastic Processes – Z. Brzeziank, T. Zastawniak – Springer 2000
- Basic Probability Theory – R.B. Ash – Free Electronic Copy
- Probability Essentials – J. Jacod, P. Protter – Springer 2004
- Elementary Stochastic Calculus (with finance in view) – T. Mikosch – World Scientific 1998
- A First Look at Rigorous Probability Theory – J.S. Rosenthal – World Scientific – 2006
- An Elementary Introduction to Mathematical Finance: Options and other Topics – S.M. Ross – Cambridge University Press – 2011
- Probability for Risk Management – M.J. Hassett, D.G. Stewart – Actex Pubblications 2006
- From Measures to Ito Integrals – E. Kopp – Cambridge University Press – 2011
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Esperimenti aleatori. Eventi. Misura di Probabilità: assiomi e principali proprietà. | Lecture note 1. Jacod-Protter, Ch 1,2; Rosenthal, Ch 2,3; Ash, Ch 1; Haigh, Ch 1 |
| 2 | * | Probabilità condizionale ed Indipendenza. Legge delle probabilità totali e teorema di Bayes. Calssi di eventi indipendenti. | Lecture note 1. . Jacod-Protter, Ch 2,3; Rosenthal, Ch 2,3; Ash, Ch 1; Haigh, Ch 2 |
| 3 | * | Misure di Probabilità discrete: uniforme; schema delle prove di Bernoulli; massa di Dirac. Cenni a esperimenti composti. | Lecture note 2. Jacod-Protter, Ch 4; Ash, Ch 1; Haigh, Ch 3 |
| 4 | * | Misure di Probabilità nell’insieme dei numeri reali (R): funzioni di distribuzione. Construzione tramite estensione. Distribuzioni discrete | Lecture note 3. Jacod-Protter, Ch 6,7,11; Rosenthal, Ch 2; Haigh, Ch 3 |
| 5 | * | Distribuzioni continue e densità. Variabili aleatorie come funzioni misurabili. Distribuzione di variabili aleatorie e misure di probabilità in R | Lecture note 3. Jacod-Protter, Ch 5,8,11; Rosenthal, Ch 2,3; Ash, Ch 2; Haigh, Ch 3,4 |
| 6 | * | Misure di Probabilità nello spazio reale euclideo n – dimensionale (R^n ): funzioni di distribuzione congiunta. Operatore differenza. | Lecture note 4. Jacod-Protter, Ch 12; Ash, Ch 2; Haigh, Ch 4 |
| 7 | * | Vettori aleatori come funzioni misurabili. Sigma-algebra generata da una variabile aleatoria e da un vettore aleatorio. Distribuzione di vettori aleatori. | Lecture note 4. Jacod-Protter, Ch 10,12; Rosenthal, Ch 2,3,6; Ash, Ch 2; Haigh, Ch 3,4; Mikosch Ch 1; Bean Ch 4; Hassett-Stewart Ch 10 |
| 8 | * | Valore atteso di variabili aleatorie semplici. Valore atteso di variabili aleatorie non-negative. Cambio di misura nel valore atteso. | Lecture note 5. Jacod-Protter, Ch 9; Rosenthal, Ch 4; Ash, Ch 3; Haigh, Ch 4 |
| 9 | * | Valore atteso di variabili aleatorie generali (integrale alla Lebesgue). Teorema della convergenza monotona. Teorema di cambio di variabile. | Lecture note 5. Jacod-Protter, Ch 9; Rosenthal, Ch 4,6; Ash, Ch 3; Haigh, Ch 4 |
| 10 | * | Integrale di Stieltjes. Distribuzioni condizionate: tramite un evento; tramite distribuzioni congiunte. | Lecture notes 5 e 6. Jacod-Protter, Ch 12,23; Rosenthal, Ch 13; Ash, Ch 4; Haigh, Ch 4; Bean Ch 4; Mikosch Ch 2 |
| 11 | * | Valore atteso condizionato tramite distribuzioni condizionate. Valore atteso condizionato ad un evento. Valore atteso condizionato generale. | Lecture note 6. Jacod-Protter, Ch 12,23; Rosenthal, Ch 13; Ash, Ch 4; Haigh, Ch 4; Mikosch Ch 1 |
| 12 | * | Lemma sul valore atteso. Disuguaglianze: Jensen; Holder; Minkowski; Cauchy-Schwartz; Chebychev. | Lecture note 7. Jacod-Protter, Ch 23; Rosenthal, Ch 5,13; Ash, Ch 3,4; Haigh, Ch 5,6; Mikosch Appendice A |
| 13 | * | Classi L^p di variabili aleatorie: momenti. Varianza, covarianza (momenti misti). | Lecture note 7. Jacod-Protter, Ch 5,9; Rosenthal, Ch 4,9; Ash, Ch 3; Haigh, Ch 4,5,6; Mikosch Ch 1 |
| 14 | * | Distriuzioni simmetriche. Statistiche riassuntive (skewness; kurtosis; mediana; quantile). Momenti di un vettore aleatorio. Complementi su vettori aleatori. Uguaglianza in distribuzione. | Lecture note 7. Jacod-Protter, Ch 11,12; Hubbert Ch 9,11; Ash, Ch 3; Haigh, Ch 4,5,8; Bean Ch 4; Mikosch Ch 1 |
| 15 | * | Misure prodotto di probabilità. Teorema di Fubini. | Lecture note 7. Jacod-Protter, Ch 10; Rosenthal, Ch 2,9 |
| 16 | * | Introduzione ai processi stocastici. Misurabilità congiunta. Traiettorie. Filtrazione. Tipi di processi. Teorema di esistenza di Kolmogorov. | Lecture note 8. . Rosenthal, Ch 7,15; Ash, Ch 6; Haigh, Ch 7,8; Brzeziank-Zastawniak Ch 3,6; Mikosch Ch 1; Hassett-Stewart Ch 12 |
| 17 | * | Fidis e distribuzioni condizionate. Alcuni esempi di processi: white noise; AR(1); random walk; martingala; Markov; Wiener o processo Brownian Motion. | Lecture note 8. Rosenthal, Ch 7,14,15; Ash, Ch 6,7; Haigh, Ch 7,8; Brzeziank-Zastawniak Ch 3,5,6; Mikosch Ch 1; Ross Ch 3; Hubbert Ch 15 |
| 18 | * | Limiti e misurabilità. Convergenza di variabili aleatorie: quasi certa; in distribuzione. | Lecture note 9. Jacod-Protter, Ch 17; Rosenthal, Ch 5; Ash, Ch 3,5,6; Haigh, Ch 6; Mikosch Appendice A |
| 19 | * | Altri tipi di convergenza: in momento n – esimo; in probabilità. Teorema del Limite Centrale e Legge dei grandi numeri. Applicazione: simulazione di Monte Carlo. | Lecture note 9. Jacod-Protter, Ch 20,21; Rosenthal, Ch 5,11; Ash, Ch 3,5,6; Haigh, Ch 6; Mikosch Appendix A; Bean Ch 6; Hubbert Ch 22; Ross Ch 13 |
| 20 | * | Trasformazioni di variabili aleatorie: funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica. | Lecture note 9. Jacod-Protter, Ch 13; Rosenthal, Ch 9,11; Ash, Ch 5; Haigh, Ch 5; Bean Ch 7,8; Hubbert Ch 11; Hassett-Stewart Ch 6,9,11 |
| 21 | * | Trasformazione di densità: caso univariato. | Lecture note 9. Jacod-Protter, Ch 11; Bean Ch 7,8; Ash Ch 2; Hubbert 11; Hassett-Stewart Ch 9 |
| 22 | * | Trasformazione di densità congiunta: caso multivariato | Lecture note 9. Jacod-Protter, Ch 12; Bean Ch 7,8; Ash Ch 2; Hassett-Stewart Ch 11 |
| 23 | * | Modello log-normale di rendimenti aleatori. Rendimento aleatorio di un portafoglio e Value-at-Risk. Misure coerenti di rischio. Cenni a misure di performance. | Lecture note 10. Mikosch Ch 4; Rosenthal Ch 15; Ross Ch 3; Hubbert Ch 5,9,10,11;13 |
| 24 | * | Modello binomiale per l’evoluzione temporale del prezzo azionario. Random Walk e convergenza al Geometric Brownian Motion. | Lecture note 11. Rosenthal Ch 15; Ross Ch 3; Ash Ch 6; Ross Ch 6; Brzeziank-Zastawniak Ch 3,5; Haigh Ch 7 |
| 25 | * | Catene di Markov e applicazione al credit risk. | Lecture note 12. Brzeziank-Zastawniak Ch 5; Haigh Ch 7,8; Rosenthal Ch 8,15; HassettStewart Ch 12; Ash Ch 7 |
| 26 | * | Processo per il valore nel tempo di un portafoglio di replica. Portafoglio self-financing. Modello diffusivo per il valore: cenni all’integrale di Ito. | Lecture note 13. Brzeziank-Zastawniak Ch 7; Mikosch Ch 3,4; Rosenthal Ch 15; Hubbert Ch 13 |
| 27 | * | Cenni alle equazioni differenziali stocastiche diffusive. Soluzione di un’equazione con coefficienti costanti: Lemma di Ito. | Lecture note 13. Brzeziank-Zastawniak Ch 7; Mikosch Ch 3; Rosenthal Ch 15 |
| 28 | * | Pricing di derivati semplici: principio di valutazione riskneutral. Formula di Black-Scholes e non-arbitraggio. | Lecture note 13. Mikosch Ch 4; Rosenthal Ch 15; Hubbert Ch 13; Ross Ch 3,7 |
| 29 | * | Ottimizzazione stocastica a tempo discreto e continuo: principio di programmazione dinamica. Alcuni esempi. | Lecture note 14. Ross Ch 11,12 |
| 30 | * | Ottimizzazione stocastica a continuo: principio martingala equivalente. | Lecture note 15. Ross Ch 11,12 |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Class Test Scritto e Interrogazione Orale
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Cosa è una sigma-algebra?
Cosa è un evento?
Cosa è una misura di probabilità? Quali sono le sue principali proprietà?
Come si definisce una distribuzione di probabilità sulla retta dei numeri reali, oppure sull spazio reale Euclideo a n dimensioni?
Come si definisce il valore atteso di una variabile aleatoria generica?
Che cos’è la convergenza in distribuzione?
Come si enuncia il Teorema del Limite Centrale?
Che cos’è un processo stocastico con incrementi indipendenti?
Come è caratterizzato il modello log-normale per il prezzo di un titolo rischioso?
Cosa è un integrale di Ito?
Cosa è una misura (coerente) di rischio?