MATEMATICA GENERALE

1. Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente riceverà gli strumenti di base che gli permetteranno di potersi confrontare con i moderni approcci formali alle scienze economiche e aziendalistiche. L’enfasi sarà posta sui principi basilari della matematica applicata all’economia piuttosto che su uno sterile tecnicismo. Si cercherà anche di dare un’idea delle possibili applicazioni degli strumenti introdotti. Più in generale si cercherà di educare lo studente ad un approccio rigoroso all’analisi dei fenomeni economici ed aziendalistici. Il rigore della trattazione matematica consentirà allo studente di acquisire una forma mentis che gli sarà utile per tutte le altre materie del suo corso universitario e, in seguito, più in generale, per tutte le tematiche professionali che incontrerà.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà messo in grado di analizzare rigorosamente un problema matematico e di utilizzare i concetti di base al fine di trarre opportune conclusioni. Lo studente sarà in grado di risolvere semplici ma non banali problemi matematici. Lo studente sarà in grado di condurre un ragionamento matematico mediante l’introduzione di rigorose definizioni e la dimostrazione di alcuni teoremi particolarmente significativi. Lo studente sarà anche in grado di applicare le conoscenze apprese alla formalizzazione di alcuni basilari problemi economici e aziendali quali la massimizzazione del profitto e la massimizzazione del’utilità.
3. Autonomia di giudizio: lo studente sarà educato ad elaborare autonomamente l’approccio più adeguato ai problemi propostigli rifuggendo da sterili applicazioni di schemi ripetitivi. Lo studente sarà educato a giudicare la formalizzazione proposta da diversi punti di vista quali l’eleganza del modello, la potenza dello strumento matematico, la difficoltà computazionale e coì via.
4. Abilità comunicative: lo studente dovrà essere in grado di apprendere i termini tecnici e di sapere esprimere in maniera appropriata la formalizzazione del problema e i risultati con essa ottenuti. Lo studente dovrà essere in grado di dare una presentazione formalizzata dei fenomeni economici e aziendali. Lo studente saprà discutere criticamente modellizazioni quantitative relative a fenomeni economici e aziendali.
5. Capacità di apprendimento: considerato il sempre crescente ricorso alla formalizzazione matematica nella trattazioni di temi economici e aziendali, il corso metterà lo studente in grado di accedere alla letteratura più qualificata in questi settori, costituendo una imprescindibile base per il futuro apprendimento sia a livello didattico che a livello professionale.

Le lezioni saranno frontali e sono previste delle esercitazioni pratiche in cui verrà mostrato come applicare le nozioni che sono state introdotte durante le lezioni.

Le quattro operazioni e le loro proprietà; numeri primi, scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo; frazioni e operazioni sulle frazioni; potenze, radici e logaritmi; monomi, polinomi e scomposizione di polinomi; equazioni e disequazioni di primo e secondo grado; equazioni e disequazioni fratte; equazioni e disequazioni in valore assoluto; elementi di base di geometria euclidea (circonferenza, poligoni, Teorema di Pitagora, misura delle grandezze geometriche)

Obbligatoria

I MODULO

Crediti parziali attribuiti : 3 CFU

Descrizione del programma

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA: linguaggi e proposizioni; connettivi; quantificatori.

INSIEMI: proprietà, sottoinsiemi, operazioni. Applicazioni. Relazioni binarie. Numeri reali e disequazioni. Cenni di trigonometria.

CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni, combinazioni e permutazioni, semplici e con ripetizione. Binomio di Newton, coefficienti binomiali.

MATRICI E DETERMINANTI: definizioni e classificazioni. Somma e prodotto di matrici. Matrice inversa. Determinante e sue proprietà. Rango di una matrice.

SISTEMI LINEARI: forme lineari. Definizioni e proprietà. Sistemi lineari normali: metodo di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di sistemi parametrici.

II MODULO

Crediti parziali attribuiti : 3 CFU

Descrizione del programma

GEOMETRIA ANALITICA: coordinate cartesiane. Equazione della retta nel piano.

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: definizioni, classificazioni, rappresentazione geometrica. Funzioni composte e inverse. Limiti: definizioni e teoremi. Successioni numeriche. Funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti.

DERIVATE E DIFFERENZIALI: definizioni, proprietà e loro significato geometrico. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e differenziali di somma, prodotto e quoziente di funzioni. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate e differenziali successivi. Principali teoremi sulle funzioni derivabili.

APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE: Formule di Taylor e di Mac Laurin. Forme indeterminate. Funzioni monotone, funzioni convesse, estremi relativi ed assoluti, flessi, asintoti. Studio di funzioni. Elasticità di una funzione.

III MODULO

Crediti parziali attribuiti : 3 CFU

Descrizione del programma

INTEGRALI: integrale indefinito e primitive. Integrale definito e suo significato geometrico. Principali metodi di integrazione.

1. S. Greco, B. Matarazzo, S. Milici, "Matematica Generale", Giappichelli Editore, Torino, 2010, 2016.
2. B. Matarazzo, M. Gionfriddo, S. Milici “Esercitazioni di Matematica” ed. Tringale, Catania,1990.
3. A. Giarlotta, S. Angilella, “Matematica generale. Teoria e pratica con quesiti a scelta multipla. VOLUME 1. Logica – Insiemistica – Combinatorica - Insiemi numerici”. Giappichelli Editore, 2013.

L'esame della materia prevede il superamento di una prova scritta e di un successivo colloquio orale.

1. Quali sono le principali operazioni sugli insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza, complemento) e le loro proprietà?

2. Cosa sono le disposizioni, combinazioni e permutazioni semplici e con ripetizione?

3. Mi enuncia la proprietà del coefficiente binomiale? (Proprietà di simmetria e formula di Stifel)

4. Cos’è il triangolo di Tartaglia?

5. Cos'è il binomio di Newton?

6. Cos’è una relazione binaria?

7. Cos’è un’applicazione?

8. Cos’è un’operazione binaria interna? Cos’è un gruppoide? Cos’è un gruppo?

9. Quali sono le operazioni sulle matrici e le loro proprietà?

10. Cos’è la matrice inversa e di quali proprietà gode?

11. Cos’è il determinante di una matrice e di quali proprietà gode?

12. Mi enuncia i due teoremi di Laplace?

13. Mi enuncia il teorema di Binet?

14. Cos’è la matrice aggiunta e di quali proprietà gode?

15. Cos’è il rango di una matrice e di quali proprietà gode?

16. Mi enuncia il teorema di Pascal? (Teorema delle orlate)

17. Cos’è una forma lineare?

18. Quando un sistema lineare si dice possibile, impossibile, determinato o indeterminato?

19. Cosa sono e quali sono i principi di equivalenza dei sistemi lineari?

20. Mi enuncia il teorema di Cramer?

21. Mi enuncia il teorema di Rouché-Capelli?

22. Mi scrive l’equazione generale di una retta e mi enuncia, commentandole, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette?

23. Mi scrive l’equazione del fascio di rette passante per un punto e l’equazione della retta passante per due punti?

24. Cosa sono e di quali proprietà godono l’estremo inferiore, l’estremo superiore, il minimo e i massimo di un insieme numerico?

25. Quando due insiemi numerici si dicono separati e quando si diconono contigui?

26. Cosa sono i punti interni, i punti di frontiera e i punti di accumulazione di un insieme?

27. Cosa sono la chiusura e l’apertura di un insieme, un insieme aperto, un insieme chiuso?

28. Mi enuncia il teorema di Bolzano-Weierstrass?

29. Cosa sono il dominio, il codominio, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo e il grafico di una funzione reale di variabile reale?

30. Quando una funzione converge per x che tende a x₀?

31. Mi enuncia i principali teoremi sui limiti (unicità del limite, primo e secondo teorema del confronto, etc.)?

32. Cos’è una funzione continua? Cosa sono i punti di discontinuità e quante specie ne esistono?

33. Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di esistenza dei valori intermedi, teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weirstrass, etc.)?

34. Quando una funzione si dice monotona e quali sono le sue principali proprietà?

35. Cosa sono le funzioni pari, dispari, periodiche e quali sono le loro principali proprietà?

36. Cosa si intende per confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti?

37. Cos’é la derivata di una funzione? Cosa sono i punti di non-derivabilità? Cosa sono i punti angolosi, cuspidali e flessi a tangente verticale?

38. Che relazione esiste tra derivabilità e continuità?

39. Qual è l’interpretazione geometrica della derivata?

40. Mi enuncia i teoremi relativi alla derivata di una somma algebrica di funzioni, del prodotto di funzioni, del rapporto di funzioni, di funzioni composte e di funzioni inverse?

41. Cos’è il differenziale e qual è la sua interpretazione geometrica?

42. Cos’è l’elasticità di una funzione?

43. Mi enuncia e mi dimostra i teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange?

44. Qual è l’interpretazione geometrica dei teoremi di Rolle e Lagrange?

45. Mi enuncia il teorema di de l'Hôpital?

46. Cosa sono la formula di Taylor e la formula di Mac Laurin? Qual è la loro utilità?

47. Quando una funzione si dice crescente (o decrescente) in x₀?

48. Mi enuncia e mi dimostra i principali teoremi sulle funzioni crescenti (o decrescenti) in un punto?

49. Cos’è un punto di massimo (o minimo) relativo?

50. Mi enuncia, mi dimostra e mi commenta il teorema di Fermat?

51. Mi enuncia i teoremi che danno condizioni sufficienti per l’esistenza di punti di massimo e minimo relativo?

52. Cos’è una funzione convessa e cos'è una funzione concava?

53. Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni convesse e sulle funzioni concave?

54. Cos’è un punto di flesso? Mi enuncia i principali teoremi sui punti di flesso?

55. Cos’è un asintoto?

56. Cos’è una primitiva di una funzione?

57. Cos’é l’integrale indefinito e quali sono le sue principali proprietà?

58. Cos’é il metodo di integrazione per parti?

59. Cos’é l’integrale definito e qual è la sua interpretazione geometrica?

60. Quali sono le principali condizioni sufficienti per l’integrabilità di una funzione?

61. Mi enuncia i principali teoremi sull’integrale definito?

62. Mi enuncia e mi commenta il teorema della media?

63. Mi enuncia e mi dimostra il teorema di Torricelli-Barrow? Perchè si chiama anche teorema fondamentale del calcolo integrale?