CALCOLO DELLE PROBABILITÀ PER LA FINANZA

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Il corso fornisce i concetti fondamentali di probabilità applicati alla finanza, specialmente quelli più rilevanti nel risk management e nell'ingegneria finanziaria. Il linguaggio probabilistico è ideato in modo da facilitare una graduale transizione dalla trattazione base (calcolo differenziale e integrale) ad una più avanzata con elementi di teoria della misura. Le applicazioni finanziarie servono quali strumenti per rinforzare la comprensione critica del linguaggio probabilistico.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): La teoria probabilistica appresa gradualmente sarà impiegata per formulare modelli finanziari e successivamente per risolvere problemi annessi. A tale scopo casi reali saranno analizzati durante le lezioni.
3. Autonomia di giudizio (Making judgment): L'interazione tra studenti e docente è mirata a stimolare l'abilità di questi ultimi a formulare giudizi sui modelli e i relativi problemi finanziari trattati. Gli studenti acquisiranno la capacità di revisionare i modelli anche grazie all'uso di studi empirici, banche dati, articoli scientifici nel settore del risk management e dell'ingegneria finanziaria disponibili sul web e presso la biblioteca del dipartimento.     
4. Abilità comunicative (Communication skills): Il processo di apprendimento è basato sulla capacità degli studenti di acquisire il corretto linguaggio probabilistico. Gli studenti dovranno inoltre acquisire la capacità di trasferimento delle conoscenze.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Il corso ha la tipica connotazione di un insegnamento di matematica applicata. Un certo grado di sofisticazione matematica è richiesta. Esercizi e soluzioni saranno discussi in aula in modo da stimolare la discussione su aspetti teorico-pratici dei modelli probabilistici applicati alla finanza.
   

Gli strumenti probabilistici saranno sviluppati durante le zioni frontali, con in aggiunta esempi finanziari dal mondo reale. La teoria probabilistica sarà sviluppata con particolare riferimento a problemi nel campo del risk management e dell'ingegneria finanziaria. Alcuni casi reali saranno illustrati tramite la valutazione numerica di dataset finanziari in termini probabilistici, usando il foglio elettronico. In alcuni casi l'uso di Visual Basic for Application (VBA), R e MATLAB sarà introdotto opportunamente. Gli studenti saranno chiamati a risolvere esercizi teorico-pratici per migliorare la comprensione delle definizioni, dei teoremi e delle formule essenziali.. 

La conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale, e di elementi di matematica finanziaria è consigliata. Anche la conoscenza di elementi di statistica è consigliata. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine e convergenza di funzioni saranno discusse durante il corso, ma la loro conoscenza è consigliata.

Non è obbligatoria, ma è fortemente consigliata.

PARTE #1 (3 CFU)

Contenuto: Riassunto di teoria base della probabilità.

Risultati di apprendimento: Strumenti probabilistici basati sul calcolo differenziale e integrale, con elementi di teoria della misura

Argomenti: Spazi di probabilità discreti e generali. Probabilità condizionale e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue, e loro distribuzione. Distribuzioni univariate più usate in finanza. Momenti, funzioni generatrici dei momenti e caratteristiche. Parametri di localizzazione e dispersione. Covarianza. Quantili. Valore atteso condizionale. Disuguaglianze. Funzione di sopravvivenza e trasformata integrale.

PARTE #2 (3 CFU)

Contenuto: Modelli di probabilità multivariati (statici e dinamici).

Risultati di apprendimento: Distribuzione di vettori aleatori e processi stocastici.

Argomenti: Vettori aleatori e distribuzione congiunta. Distribuzioni marginale e finito dimensionali. Distribuzione di un processo stocastico. Teoremi di convergenza. Simulazione Monte Carlo. Alcuni processi utilizzati in finanza (Bernoulli, random walk, Wiener, AR(1), martingale, Markov). 

PARTE #3 (3 CFU)

Contenuto: Alcuni modelli stocastici in finanza.

Risultati di apprendimento: Applicazione del concetto di distribuzione probabilistica a modelli finanziari selezionati.

Argomenti: Invarianti di mercato (rendimenti logaritmici, rischio e rendimento atteso di un portafoglio). Misure coerenti di rischio e  Value-at-Risk. Modello binomiale per il prezzo. Moto geometrico Browniano e modello di Black-Scholes. Probabilità di mercato e risk-neutral. Code-grosse. Funzioni copula e nozioni di dipendenza stocastica. Funzione di distribuzione empirica e stimatore plug-in. Espettili.  Ordinamento stocastico del primo e del secondo ordine.

1. A Cookbook with Probability One (with financial application) – D. Rossello – Springer, 1st edition, 2024
2. Instructor’s notes

Test a risposta multipla: 10 quesiti, solo una risposta corretta per quesito. 

Esame orale: 4  domande.

Nessuna prova intermedia.

What is an event?

What is a probability measure?

What is a sigma-algebra?

What is the distribution of a random variable?

What is a joint distribution?

What is convergence in distribution?

What is a stochastic process?

What does the Central Limit Theorem tell?

What does the Weak Law of Large Numbers tell?

What is the Bayes’ theorem?

How does the log-normal model of stock-price characterized?

What are the Ito’s Integral and the Ito’s Lemma?

What is a coherent risk measure?

What is a quantile?

What are the moment generating function and the characteristic function of a random variable?

What is a copula function?

What is an empirical distribution function?

When a class of random variables is said to be independent?

What is a random walk?

What is a Bernoulli process?

What is an AR(1) process?

What is a martingale?

What is a Markov process?