PROBABILITY FOR FINANCE

Conoscenza e capacità di comprensione. Il corso fornisce le conoscenze base della moderna teoria probabilistica, utile ai fini della modellizzazione dei mercati finanziari. Le principali idee e le più rilevanti tecniche matematiche sono presentate tramite esempi finanziari: pricing di titoli derivati, risk management, asset allocation. Il background matematico è mirato alla preparazione di uno studente di Economia, consentendo un apprendimento flessibile attraverso cui egli può successivamente analizzare le applicazioni a un periodo (es. misure di rischio e performance) e a più periodi sia a tempo discreto che a tempo continuo (es. pricing di derivati in condizioni di non-arbitraggio). Tali applicazioni sono presentate anche attraverso letteratura specialistica ed esempi. Evitando sovrapposizione con altre discipline affini, il percorso formativo coniuga una didattica rivolta all’elaborazione di capacità logico-deduttive e abilità di problem-solving. La verifica dell'apprendimento è eseguita durante tutto lo svolgimento del corso, stimolando un’attiva partecipazione da parte degli studenti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Intrinsecamentela teoria probabilistica si presta – attraverso gli opportuni metodi didattici interattivi sopra richiamati – alla cosiddetta applying knowledge del potenziale laureato magistrale, ossia l’impiego in contesti professionali della conoscenza acquisita e la capacità di adattarla a situazioni trasversali, sviluppando una capacità di elaborazione del know how in modo originale. E’ prevista la discussione in aula di casi reali in modo da stimolare la sintesi e soluzione di problemi in condizioni di incertezza su futuri valori di grandezze economiche (es. opzioni reali, misurazione del rischio di cash flow operativi e finanziari, scelta di investimenti alternativi, ecc.).

Autonomia di giudizio. Lo studente è chiamato attivamente ad interagire con il docente allo scopo di sviluppare una capacità di giudizio autonomo relativo ai modelli probabilistici trattati a lezione. Il futuro laureato magistrale dovrà essere in grado di riconoscere gli aspetti descrittivi e/o normativi di tali modelli, estrapolarne gli elementi essenziali da sottoporre a verifica e attivare la ricerca e l’uso appropriato di fonti informative tramite il web (articoli su riviste, working papers, studi empirici, banche dati, ecc.).

Abilità comunicative. Il corso mira a formare soggetti abili nella sintesi tra conoscenza teorica (ipotesi e assiomi dei modelli) e aspetti operativi (applicazioni a problemi finanziari), oltrechè in grado di divulgare il know how. L’organizzazione delle lezioni in moduli e attraverso talks somministrati con l’ausilio di presentazioni multimediali favorisce l’interazione docente-studente, in un quadro di continuo aggiornamento critico delle nozioni apprese e dei relativi aspetti operativi. In tal modo lo studente acquisisce un buon controllo dei topics studiati ed è in grado di promuoverne la circolazione e trasmissione a terzi con appropriata capacità di giudizio.

Capacità di apprendimento. L’insegnamento proposto contiene elementi tipici della matematica applicata, ma che richiedono anche una certa abilità di ragionamento in termini astratti. Per tale motivo, ad ogni studente vengono forniti spunti di riflessione sul miglioramento del metodo di studio tenuto conto delle rispettive individualità. Durante le lezioni sono somministrati esercizi necessari alla verifica dell’apprendimento. Inoltre, è richiesta l’attiva partecipazione alle lezioni mediante verifiche orali di singoli aspetti logico-deduttivi della materia o di quelli operativi. Lo studente è stimolato a partecipare alla revisione delle Lecture Notes predisposte dal docente, strumento di studio principale insieme ai libri di testo consigliati.

Conoscenza dei principali strumenti di calcolo differenziale e integrale (una e più dimensioni). Nozioni di algebra lineare. Nozioni di calcolo finanziario in condizioni di certezza. Equazioni differenziali (primo ordine, ordinarie) e convergenza di serie di funzioni saranno discussi anche a lezione.

Fortemente Consigliata

1° MODULO (3 CFU)

Titolo del modulo: Elementi di Teoria delle Probabilità

Credito parziale attribuito: 3 CFU

Obiettivi formativi: Conoscenza dei principali risultati probabilistici dal punto di vista del calcolo infinitesimale; illustrazione di alcuni concetti base con esempi finanziari.

Descrizione del programma: Spazi di probabilità discreti e generali; probabilità condizionale e indipendenza; variabili casuali (distribuzioni discrete e continue); alcuni modelli di variabili casuali d’impiego frequente in finanza; indici di localizzazione e dispersione; funzioni quantili; valore atteso condizionato (integrazione rispetto a una misura di probabilità).

2° MODULO (3 CFU)

Titolo del modulo: Modelli multivariati in condizioni d’incertezza statica e dinamica

Credito parziale attribuito: 3 CFU

Obiettivi formativi: Estensione delle distribuzioni di probabilità a vettori aleatori e processi stocastici, come modelli di fenomeni finanziari in condizioni d’incertezza.

Descrizione del programma: Vettori casuali e distribuzioni congiunte; distribuzioni marginali; processi stocastici e distribuzioni finito dimensionali; alcuni teoremi di convergenza di variabili aleatorie; simulazione di Monte Carlo e metodo della trasformazione inversa; funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti; alcuni processi stocastici utilizzati in finanza: Bernoulli, random walk, Wiener, AR(1), martingala, Markov Chains; elementi di calcolo stocastico (integrale di Itô ed equazioni differenziali stocastiche diffusive).

3° MODULO (3 CFU)

Titolo del modulo: Modelli stocastici e Finanza

Credito parziale attribuito: 3 CFU

Obiettivi formativi: Applicazioni di distribuzioni di variabili casuali e processi stocastici alla modellizzazione finanziaria: pricing, risk e performance measurement.

Descrizione del programma: modellizzazione d’invarianti di mercato (log-returns); misure di rischio coerenti e generali (es. Value-at-Risk ed Expecetd Shortfall); pricing di derivati semplici: approccio binomiale a tempo discreto e approccio a tempo continuo alla Black-Scholes (non-arbitraggio e hedging); ottimizzazione della ricchezza finale: cenni con l’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (stochastic dynamic programming) e l’approccio martingala equivalente.

1. Lecture Notes del docente
2. Probability: The Science of Uncertainty (with Applications to Investments, Insurance and Engineering) – M.A. Bean – American Mathematical Society
3. Essential Mathematics for Market Risk Management – S. Hubbert – Wiley 2012
4. Probability Models – J. Haigh – Springer 2004
5. Basic Stochastic Processes – Z. Brzeziank, T. Zastawniak – Springer 2000
6. Basic Probability Theory – R.B. Ash – Free Electronic Copy
7. Probability Essentials – J. Jacod, P. Protter – Springer 2004
8. Elementary Stochastic Calculus (with finance in view) – T. Mikosch – World Scientific 1998
9. A First Look at Rigorous Probability Theory – J.S. Rosenthal – World Scientific – 2006
10. An Elementary Introduction to Mathematical Finance: Options and other Topics – S.M. Ross – Cambridge University Press – 2011
11. Probability for Risk Management – M.J. Hassett, D.G. Stewart – Actex Pubblications 2006
12. From Measures to Ito Integrals – E. Kopp – Cambridge University Press – 2011

Class Test Scritto e Interrogazione Orale

Cosa è una sigma-algebra?

Cosa è un evento?

Cosa è una misura di probabilità? Quali sono le sue principali proprietà?

Come si definisce una distribuzione di probabilità sulla retta dei numeri reali, oppure sull spazio reale Euclideo a n dimensioni?

Come si definisce il valore atteso di una variabile aleatoria generica?

Che cos’è la convergenza in distribuzione?

Come si enuncia il Teorema del Limite Centrale?

Che cos’è un processo stocastico con incrementi indipendenti?

Come è caratterizzato il modello log-normale per il prezzo di un titolo rischioso?

Cosa è un integrale di Ito?

Cosa è una misura (coerente) di rischio?